Dreisatz erklärt — proportional, umgekehrt und zusammengesetzt
Der Dreisatz ist eine der nützlichsten Rechentechniken überhaupt: Aus drei bekannten Werten ermittelst du einen vierten. Vom Einkauf über Rezepte bis zur Baustelle — wer den Dreisatz beherrscht, rechnet im Alltag souverän. Dieser Leitfaden zeigt alle drei Varianten samt Rechenweg.
Schnellzusammenfassung: Beim proportionalen Dreisatz („je mehr, desto mehr") teilst du zuerst auf 1 herunter und multiplizierst dann hoch. Beim umgekehrten Dreisatz („je mehr, desto weniger") drehst du den zweiten Schritt um — multiplizieren statt teilen. Der zusammengesetzte Dreisatz verknüpft mehrere Größen in einer Rechnung.
1. Was ist der Dreisatz?
Mit dem Dreisatz berechnest du aus drei bekannten Werten (A1, B1 und A2) einen gesuchten vierten Wert (X). Du brauchst dafür nur Multiplikation und Division — keine komplizierten Formeln.
Definition
Der Dreisatz nutzt das Verhältnis zwischen zwei zusammengehörigen Größen: A1 verhält sich zu B1 wie A2 zu X. Der Trick ist der „Zwischenschritt auf 1" — du rechnest erst aus, was eine einzelne Einheit wert ist, und dann hoch auf die gesuchte Menge.
2. Proportionaler Dreisatz
Beim proportionalen (direkten) Dreisatz gilt: „Je mehr von A, desto mehr von B." Mehr Äpfel kosten mehr Geld, mehr Benzin bringt mehr Reichweite.
Beispiel: 3 Äpfel kosten 1,50 €. Was kosten 7 Äpfel?
Schritt 1 (auf 1): 1,50 € ÷ 3 = 0,50 € pro Apfel
Schritt 2 (auf 7): 0,50 € × 7 = 3,50 €
3. Umgekehrt proportionaler Dreisatz
Beim umgekehrten (antiproportionalen) Dreisatz gilt: „Je mehr von A, desto weniger von B." Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit, schnelleres Tempo braucht weniger Stunden.
Beispiel: 3 Maler brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 5 Maler?
Schritt 1 (auf 1 Maler): 6 Tage × 3 = 18 Tage (1 Maler allein)
Schritt 2 (auf 5 Maler): 18 ÷ 5 = 3,6 Tage
💡 Der Unterschied im Zwischenschritt: Beim proportionalen Dreisatz teilst du auf 1 herunter. Beim umgekehrten multiplizierst du auf 1 hoch — denn ein einzelner Arbeiter braucht ja am längsten.
4. Pro oder anti? So erkennst du es
Die häufigste Fehlerquelle ist die falsche Wahl der Dreisatzart. Diese Tabelle hilft:
| Situation | Art | Logik-Check |
|---|---|---|
| Menge → Preis | proportional | mehr Menge = mehr Preis |
| Strecke → Spritverbrauch | proportional | mehr km = mehr Liter |
| Arbeiter → Bauzeit | umgekehrt | mehr Leute = weniger Zeit |
| Geschwindigkeit → Fahrzeit | umgekehrt | schneller = kürzer |
| Pumpen → Leerpump-Dauer | umgekehrt | mehr Pumpen = schneller leer |
🎯 Eselsbrücke: Frag dich: „Wenn ich von A mehr nehme — wird B dann größer oder kleiner?" Größer = proportional. Kleiner = umgekehrt. Diese eine Frage erspart dir 90 % aller Dreisatz-Fehler.
5. Zusammengesetzter Dreisatz
Hier kommt der Teil, den die meisten Online-Rechner nicht bieten: der zusammengesetzte Dreisatz mit drei Größen. Er verknüpft zwei einfache Dreisätze in einer Rechnung.
Beispiel: 3 Arbeiter bauen in 8 Tagen 2 Häuser. Wie lange brauchen 4 Arbeiter für 3 Häuser?
Größe Arbeiter → Tage: umgekehrt (mehr Arbeiter = weniger Tage) → × 3/4
Größe Häuser → Tage: proportional (mehr Häuser = mehr Tage) → × 3/2
Rechnung: 8 × (3/4) × (3/2) = 8 × 0,75 × 1,5 = 9 Tage
Im Rechner oben (Tab „Zusammengesetzt") wählst du für jede Größe einfach, ob sie proportional oder umgekehrt zum Ergebnis steht — der Rechenweg wird automatisch erzeugt.
6. Häufige Fehler vermeiden
Fehler 1 — Werte diagonal einsetzen: Gleiche Einheiten müssen immer untereinander stehen. Euro unter Euro, kg unter kg. Niemals über Kreuz.
Fehler 2 — Falsche Dreisatzart: Antiproportionale Aufgaben als proportional behandeln. Immer den Logik-Check machen.
Fehler 3 — Vom gesuchten Wert aus rechnen: Beziehe dich immer auf den bekannten Wert, nicht auf X.
Fehler 4 — Einheiten vergessen: Schreib die Einheit immer mit. „3,5" ist wertlos — „3,5 Tage" ist eine Antwort.
7. Häufige Fragen (FAQ)
Du rechnest aus drei bekannten Werten einen vierten. Beim proportionalen Dreisatz teilst du zuerst auf eine Einheit herunter (Schritt auf 1) und multiplizierst dann auf die gesuchte Menge hoch. Formel: X = B1 ÷ A1 × A2.
Beim proportionalen Dreisatz gilt „je mehr, desto mehr" (mehr Ware = mehr Preis). Beim antiproportionalen (umgekehrten) gilt „je mehr, desto weniger" (mehr Arbeiter = weniger Zeit). Der Unterschied liegt im zweiten Rechenschritt: teilen vs. multiplizieren.
Ein Dreisatz mit mehr als zwei Größen — z.B. Arbeiter, Tage und Leistung gleichzeitig. Man löst ihn, indem man die Wirkung jeder Größe einzeln betrachtet und die Faktoren multipliziert. Beispiel: 3 Arbeiter bauen 2 Häuser in 8 Tagen; 4 Arbeiter brauchen für 3 Häuser 8 × 3/4 × 3/2 = 9 Tage.
Stell dir die Frage: „Wenn ich von der ersten Größe mehr nehme — wird das Ergebnis größer oder kleiner?" Größer = proportional. Kleiner = umgekehrt proportional. Beispiel: Mehr Arbeiter → weniger Bauzeit = umgekehrt.
Für Preisvergleiche (Grundpreis pro 100 g), Rezepte umrechnen (Zutaten für mehr Personen), Verbrauch (Sprit pro 100 km), Währungsumrechnung, Maßstäbe auf Karten und vieles mehr. Der Dreisatz ist eine der praktischsten Alltagstechniken.
Ja — Prozentrechnung ist im Grunde ein Dreisatz mit der Bezugsgröße 100. „Wenn 100 % = 250 €, wie viel sind 19 %?" → 250 ÷ 100 × 19 = 47,50 €. Für reine Prozentaufgaben ist unser Prozentrechner aber bequemer.
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Weiterführende Quellen
- Wikipedia: Dreisatz — mathematische Grundlagen und Geschichte.
- Serlo Mathematik — freie Lernplattform mit Übungen.